Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 + 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 \\ - 4 + 0 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $- 4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 \\ - 4 & 8 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 1 \\ - 1 & 4 - λ & 0 \\ - 4 & 8 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 \\ 8 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 1 - λ) ((4 - λ) (- 1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $(4 - λ) (- 1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 1 - λ) (4 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 1 - λ) (4 \cdot - 1 + 4 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 1 - λ) (4 \cdot - 1 + 4 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 + 4 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.3

Multipliziere $- λ \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + 1 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - λ (- λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 4 λ + λ + λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Addiere $- 4 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 3 λ + λ^{2} - 8 \cdot 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 3 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 4 - 3 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 4 - 3 λ + λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.3

Bewege $- 4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.4

Stelle $- 3 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ - 4 & 8 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 1 \cdot 8 - (- 4 (4 - λ)))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 4 (4 - λ)))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 4 \cdot 4 - 4 (- λ)))$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 16 - 4 (- λ)))$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - (- 16 + 4 λ))$

Schritt 5.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 - - 16 - (4 λ))$

Schritt 5.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 + 16 - (4 λ))$

Schritt 5.4.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 8 + 16 - 4 λ)$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $- 8$ und $16$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (8 - 4 λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $8$ und $- 4 λ$ um.

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Addiere $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ und $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Multipliziere $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Schreibe $- 1 λ^{2}$ als $- λ^{2}$ um.

$p (λ) = - λ^{2} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4 + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.2.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.3

Addiere $- λ^{2}$ und $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.4

Addiere $3 λ$ und $4 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 7 λ + 4 - λ^{3} + 1 (- 4 λ + 8)$

Schritt 5.5.2.5

Mutltipliziere $- 4 λ + 8$ mit $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 7 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ + 8$

Schritt 5.5.3

Subtrahiere $4 λ$ von $7 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 3 λ + 4 - λ^{3} + 8$

Schritt 5.5.4

Addiere $4$ und $8$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} + 3 λ - λ^{3} + 12$

Schritt 5.5.5

Bewege $3 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 12$

Schritt 5.5.6

Stelle $2 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 2 λ^{2} + 3 λ + 12$